评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

本题主要考察利用偏微分方程求解函数表达式，以及旋转体体积的计算。学生作答中：

• 正确通过偏积分得到 \( f(x,y) = (y+1)^2 + g(x) \) 的形式（2分）
• 正确利用条件 \( f(y,y) = (y+1)^2 - (2-y)\ln y \) 确定 \( g(x) = -(2-x)\ln x \)（3分）
• 正确写出函数表达式 \( f(x,y) = (y+1)^2 - (2-x)\ln x \)（1分）
• 正确得到曲线方程 \( (y+1)^2 = (2-x)\ln x \)（1分）
• 正确建立旋转体体积公式 \( V = \pi\int_1^2 (y+1)^2 dx = \pi\int_1^2 (2-x)\ln x dx \)（2分）
• 正确计算定积分得到最终结果 \( \pi(2\ln 2 - \frac{5}{4}) \)（2分）

虽然学生作答中在确定 \( g(x) \) 的表达时表述有些混乱（"\(g(x)=-(2 - y)\ln y-(y + 1)^{2}+(y + 1)^{2}\)"这部分逻辑不清），但最终得到了正确的 \( g(x) = -(2-x)\ln x \)，且后续计算完全正确。考虑到这是识别结果，可能由于识别问题导致表述不清，不扣分。

得分：11分

题目总分：11分