评分及理由

（1）微分方程求解部分得分及理由（满分6分）

学生正确识别了微分方程类型并应用了一阶线性微分方程的通解公式，但在积分计算过程中出现了逻辑错误。具体而言，在计算积分 \(\int \frac{1}{x^2}\cdot\frac{2\ln x - 1}{2x}dx\) 时，错误地使用了代换 \(u = \ln x\) 并得到了错误结果 \(-\frac{1}{2\ln x}+\frac{1}{4(\ln x)^2}\)，而正确结果应为 \(\int (\ln x \cdot x^{-3} - \frac{1}{2}x^{-3})dx\)。虽然最终得到的函数形式 \(y = -\frac{1}{2}\ln x + \frac{1}{4}x^2\) 与标准答案一致，但这是通过错误的积分过程巧合得到的。由于存在明显的积分计算逻辑错误，扣3分。

得分：3分

（2）弧长计算部分得分及理由（满分6分）

学生正确写出了弧长公式 \(S = \int_{1}^{e}\sqrt{1+(y')^2}dx\)，正确求导得到 \(y'=\frac{1}{2}(x - \frac{1}{x})\)，并且在化简 \(\sqrt{1+(\frac{1}{2}(x - \frac{1}{x}))^2}\) 时正确得到了 \(\frac{1}{2}(x + \frac{1}{x})\)。最后的定积分计算和代入上下限的过程完全正确，得到了正确结果 \(\frac{e^2 + 1}{4}\)。此部分无逻辑错误，给满分。

得分：6分

题目总分：3+6=9分