评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确应用链式法则得到 \(\frac{\partial g(x,y)}{\partial x} = f_1' - f_2'\)，并代入已知条件得到 \(2(2x-y)e^{-y}\)，最终结果为 \((4x-2y)e^{-y}\)。计算过程完整且正确，与标准答案一致。因此得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生通过积分得到 \(g(x,y) = (2x^2 - 2xy)e^{-y} + \varphi(y)\)，并利用条件 \(g(x,x) = f(x,0) = x^2 e^{-x}\) 正确求出 \(\varphi(y) = y^2 e^{-y}\)，从而得到 \(f(u,v) = (u^2+v^2)e^{-(u+v)}\)。在极值分析中，正确求出一阶偏导数并解得驻点 \((0,0)\) 和 \((1,1)\)，计算二阶偏导数及判别式，结论正确。但在二阶偏导数表达式中有轻微误写（如 \(f_{uu}''\) 的表达式与标准答案形式略有差异但不影响结果），根据误写不扣分原则，不扣分。因此得6分。

题目总分：6+6=12分