评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确写出了二次型矩阵A，计算了特征多项式并得到特征值λ=2,4,4。在求特征向量时，对于λ=2得到α₁=(-1,0,1)ᵀ，对于λ=4得到α₂=(0,1,0)ᵀ和α₃=(1,0,1)ᵀ，这些特征向量相互正交，单位化后得到正交矩阵Q。

但学生在构造正交矩阵Q时，将特征向量的排列顺序写为(γ₁,γ₂,γ₃)，其中γ₁对应特征值2，γ₂和γ₃对应特征值4，这与标准答案中先排特征值4对应的特征向量不同，导致最终的标准形为2y₁²+4y₂²+4y₃²而非4y₁²+4y₂²+2y₃²。

虽然排列顺序不同，但这是正确的解法，不影响最终结果。考虑到学生完整完成了特征值、特征向量的求解和正交化单位化过程，仅因特征向量排列顺序与标准答案不一致，不构成实质性错误。

扣分：0分

得分：6分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确利用了正交变换x=Qy的性质，得到f(x)=2y₁²+4y₂²+4y₃²和xᵀx=y₁²+y₂²+y₃²。通过将分式化为2+(2y₂²+2y₃²)/(y₁²+y₂²+y₃²)的形式，正确得出该表达式≥2，并得到最小值为2。

虽然标准形与标准答案形式不同（系数的排列顺序不同），但这不影响最小值的结果，证明过程和结论完全正确。

扣分：0分

得分：6分

题目总分：6+6=12分