评分及理由

（1）必要性证明得分及理由（满分6分）

学生使用了泰勒展开的方法，思路正确。在展开后积分时，正确计算了常数项和一次项的积分（一次项积分为0），但在处理二阶余项时，将积分写为 \(\frac{1}{12}f''(\xi)(b-a)^3\)，这里存在两个问题：第一，泰勒展开中的 \(\xi\) 依赖于 \(x\)，不能直接提到积分号外；第二，即使允许提到积分号外，也应使用积分中值定理得到某个 \(\xi \in (a,b)\)，但学生没有明确说明。不过，由于学生正确写出了积分结果并利用了 \(f''(x) \geq 0\) 得到不等式，核心逻辑正确，只是表达不够严谨。因此扣1分。

得分：5分

（2）充分性证明得分及理由（满分6分）

学生试图用反证法，但证明过程存在严重逻辑错误。学生取 \(a=x_0, b=x_0+\Delta x\)，然后写出极限表达式，并声称当 \(\Delta x \to 0\) 时 \(f''(\xi) = f''(x_0)\)，进而得出矛盾。然而，学生所写的不等式方向错误（实际上当 \(f''(x_0)<0\) 时，表达式应小于 \(f(x_0+\frac{\Delta x}{2})\)，但学生写了大于号），且没有正确构造出与题设矛盾的不等式。标准答案是通过在一个小区间上直接应用泰勒展开得到严格不等式，而学生这里使用了极限过程，但推导不完整且结论错误。因此扣4分。

得分：2分

题目总分：5+2=7分