评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确写出二次型矩阵A，计算特征多项式并得到特征值λ=2,4,4。求解特征向量时，对λ=2得到α₁=(-1,0,1)ᵀ，对λ=4得到α₂=(0,1,0)ᵀ和α₃=(1,0,1)ᵀ，并进行单位化得到γ₁,γ₂,γ₃。构造正交矩阵Q时，虽然列向量顺序与标准答案不同（标准答案是γ₃,γ₂,γ₁的顺序），但这是允许的，因为特征向量顺序不影响正交变换的本质。最终通过正交变换得到标准形2y₁²+4y₂²+4y₃²，与标准答案4y₁²+4y₂²+2y₃²只是变量标号不同，实质相同。整个过程思路完整，计算正确，得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生利用正交变换x=Qy，正确推导出f(x)/xᵀx = (2y₁²+4y₂²+4y₃²)/(y₁²+y₂²+y₃²)。然后通过变形得到2 + (2y₂²+2y₃²)/(y₁²+y₂²+y₃²) ≥ 2，并得出最小值为2。虽然表达式形式与标准答案略有不同，但数学本质完全一致，推导过程严谨正确。得6分。

题目总分：6+6=12分