评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生两次识别结果中，第二次识别结果为 $x^{2}$，与标准答案 $x^{2}$ 完全一致。该答案满足欧拉方程 $x^{2}y'' + xy' - 4y = 0$，且验证初始条件 $y(1)=1$ 和 $y'(1)=2$：

• 当 $y = x^2$ 时，$y' = 2x$，$y'' = 2$
• 代入方程：$x^2 \cdot 2 + x \cdot 2x - 4 \cdot x^2 = 2x^2 + 2x^2 - 4x^2 = 0$
• 验证初始条件：$y(1)=1^2=1$，$y'(1)=2\times1=2$

因此答案正确，得5分。

题目总分：5分