评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答中，第一问正确解出 a=2, b=-2，且推导过程基本正确（利用 Aα=λα 和 |A|=24 联立方程）。但存在一些表述混乱：例如“Aα₁=(-2,6)” 和 “Aα₂=(2,a+b)=λ₁(1,0)” 的写法不规范（α₁、α₂未定义，且第二式与第一式不一致），但最终方程组和结果正确。由于核心逻辑正确，仅扣1分表述不规范。

得分：3分

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确写出 A 矩阵（a=2,b=-2），并正确计算特征多项式得到特征值 λ₁=λ₂=2, λ₃=6。但在求特征向量时： - 对于 λ=2，给出的 ξ₁=(0,1,1)ᵀ 和 ξ₂=(1,0,1)ᵀ 中，ξ₂ 实际上是题目已知的 α=(1,0,1)ᵀ，但 ξ₁=(0,1,1)ᵀ 是否与 ξ₂ 线性无关？验证：秩为2，正确。 - 对于 λ=6，ξ₃=(-1,-3,2)ᵀ 正确。 矩阵 P 构造正确。但学生最后给出的 P 是 <0,1,-1; 1,0,-3; 1,1,2>，与标准答案顺序不同但合理（特征向量顺序可调）。因此本问全对。

得分：4分

（3）得分及理由（满分4分）

学生尝试构造 Q=PPᵀ，但计算错误： - 给出的 P=<0,1,-1; 1,0,-3; 1,1,2>，则 Pᵀ=<0,1,1; 1,0,1; -1,-3,2> - 计算 Q=PPᵀ 应为： - 第一行：(0,1,-1)·(0,1,1)=0+1-1=0? 错误，正确计算：第一行×Pᵀ各列： * 第1列：0×0+1×1+(-1)×(-1)=0+1+1=2 * 第2列：0×1+1×0+(-1)×(-3)=0+0+3=3 * 第3列：0×1+1×1+(-1)×2=0+1-2=-1 所以第一行为 (2,3,-1)，但学生写成 (2,3,-1) 匹配。 - 但学生最终给出的 Q 是 <2,3,-1; 3,4,-5; -1,-5,6>，其中第二行第三列应为：1×1+0×1+(-3)×2=1+0-6=-5，正确；但第二行第二列：1×1+0×0+(-3)×(-3)=1+0+9=10，学生写成4，计算错误。 由于 Q 计算错误，且未验证 Q⁻¹AQ=Aᵀ，扣2分。另外最后“正交变换”未完成，但不影响扣分。

得分：2分

题目总分：3+4+2=9分