评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"e的-1次方"，即 \( e^{-1} \)。

该题要求计算极限 \(\lim\limits_{x \to 0}\left( \frac{1 + \mathrm{e}^x}{2} \right)^{\cot x}\)。正确解法是取自然对数后利用等价无穷小替换：

设 \( y = \left( \frac{1 + e^x}{2} \right)^{\cot x} \)，则 \(\ln y = \cot x \cdot \ln\left( \frac{1 + e^x}{2} \right)\)。

当 \( x \to 0 \) 时，\(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \sim \frac{1}{x}\)，且 \(\ln\left( \frac{1 + e^x}{2} \right) = \ln\left( 1 + \frac{e^x - 1}{2} \right) \sim \frac{e^x - 1}{2} \sim \frac{x}{2}\)。

因此 \(\ln y \sim \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{2} = \frac{1}{2}\)，故极限值为 \( e^{1/2} = \sqrt{e} \)。

学生答案 \( e^{-1} \) 与标准答案 \( \sqrt{e} \) 不一致，说明计算过程中存在逻辑错误（如符号错误、等价替换错误等）。由于这是填空题，答案错误即不得分。

得分：0分

题目总分：0分