评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

该题要求学生计算函数 \(f(x, y)=\int_{0}^{x y} e^{x t^{2}} dt\) 在点 \((1,1)\) 处的混合偏导数 \(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\) 的值。学生的答案为 "e"。

首先分析正确解法：
设 \(u = xy\)，则 \(f(x,y) = \int_0^u e^{x t^2} dt\)。
先求 \(\frac{\partial f}{\partial y}\)：
由莱布尼茨公式，\(\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x(xy)^2} \cdot x + \int_0^{xy} \frac{\partial}{\partial y}(e^{x t^2}) dt\)。
由于被积函数 \(e^{x t^2}\) 与 \(y\) 无关，第二项为0，所以 \(\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{x^3 y^2}\)。

再求 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(x e^{x^3 y^2})\)：
应用乘积法则：\(\frac{\partial}{\partial x}(x e^{x^3 y^2}) = e^{x^3 y^2} + x \cdot e^{x^3 y^2} \cdot 3x^2 y^2 = e^{x^3 y^2}(1 + 3x^3 y^2)\)。

代入 \((1,1)\) 得：\(\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)} = e^{1}(1 + 3) = 4e\)。

学生答案 "e" 与标准答案 \(4e\) 不符，存在计算错误。虽然学生可能正确识别了指数函数部分，但忽略了乘积法则中的其他项，导致结果不完整。根据评分要求，答案错误应得0分。

题目总分：0分