评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 \(2\pi\)，而标准答案是 \(\frac{2}{\pi}\)。计算过程如下：

• \(X \sim U(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)，概率密度函数为 \(f_X(x) = \frac{1}{\pi}\)
• 协方差公式：\(\operatorname{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]\)
• \(E[X] = 0\)（均匀分布对称性）
• \(E[Y] = E[\sin X] = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin x \cdot \frac{1}{\pi} dx = 0\)
• \(E[XY] = E[X\sin X] = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x\sin x \cdot \frac{1}{\pi} dx = \frac{2}{\pi}\)
• 因此 \(\operatorname{Cov}(X,Y) = \frac{2}{\pi} - 0 \times 0 = \frac{2}{\pi}\)

学生的答案 \(2\pi\) 与正确结果 \(\frac{2}{\pi}\) 在数值和量纲上都完全不同，存在严重的计算错误。根据评分标准，答案错误得0分。

题目总分：0分