评分及理由

（1）证明收敛部分得分及理由（满分5分）

学生正确计算了收敛半径：由递推关系得到 \(a_{n+1} = \frac{n+\frac{1}{2}}{n+1}a_n\)，然后使用比值判别法计算收敛半径 \(R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n+\frac{1}{2}} = 1\)，并得出当 \(|x|<1\) 时幂级数收敛。这部分证明完整正确。

得分：5分

（2）求和函数部分得分及理由（满分5分）

学生没有完成和函数的求解。虽然写出了 \(S(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n x^n\)，但后续的表达式 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+\frac{1}{2})!}{(n+1)!}x^n\) 是不正确的，这显示学生试图用阶乘表示通项但方法错误。学生没有建立微分方程，也没有求解出正确的和函数形式。

得分：0分

题目总分：5+0=5分