评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生解答中，第一步变量替换时出现错误：令 \(u = t^2\) 后，积分变为 \(2 \int_0^{x^2} f(x^2) f(x^2 - u) du\)，但标准答案为 \(2 f(x^2) \int_0^{x^2} f(s) ds\)，这里学生未正确分离常数 \(f(x^2)\) 与积分变量，导致后续推导复杂化。不过学生后续引入 \(y = \int_0^x f(\alpha) d\alpha\) 并得到 \(2 y' y = x^3\) 是正确的，且正确求解微分方程得到 \(y = x^2/2\)，进而得到 \(f(x) = x\)。由于核心思路正确且最终结果正确，但中间步骤有逻辑错误，扣1分。得分为 5 分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确写出级数为 \(\sum_{n=1}^\infty 2^{1-n} n^2\)，并采用错位相减法求解。计算过程中，设 \(S_n = 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}\) 并构造 \(\frac12 S_n\) 和 \(\frac14 S_n\) 的表达式，然后相减求极限。虽然步骤繁琐且部分表达式书写不够清晰（如 \(R_n\) 的推导），但最终结果正确（和为12）。由于方法正确且结果正确，不扣分。得分为 6 分。

题目总分：5+6=11分

评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生在解答第一部分时，首先进行了变量替换，令 \(u = t^2\)，得到积分表达式 \(2 \int_0^{x^2} f(x^2) f(x^2 - u) du\)。这里学生未能正确分离常数 \(f(x^2)\) 与积分变量，导致后续推导复杂化，与标准答案中直接分离出 \(f(x^2)\) 并积分的方法相比，存在逻辑上的不足。然而，学生后续引入 \(y = \int_0^x f(\alpha) d\alpha\) 并推导出微分方程 \(2 y' y = x^3\) 是正确的，且正确求解该方程得到 \(y = x^2/2\)，进而得出 \(f(x) = x\)。由于核心思路正确且最终结果正确，但中间步骤有逻辑错误，扣1分。得分为 5 分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生在第二部分正确写出级数为 \(\sum_{n=1}^\infty ...