评分及理由

（1）确定a的值（满分3分）

学生正确写出矩阵A，并根据标准型为λ₁y₁²+λ₂y₂²推出r(A)=2，进而通过行列式|A|=0或初等行变换得到a=2。思路正确，计算无误。得3分。

（2）求特征值（满分3分）

学生正确计算特征多项式|λE-A|，并准确解得特征值λ₁=-3，λ₂=6，λ₃=0。过程完整，结果正确。得3分。

（3）求正交矩阵Q（满分5分）

学生正确求出三个特征向量α₁=(1,-1,1)ᵀ，α₂=(1,0,-1)ᵀ，α₃=(1,2,1)ᵀ。虽然α₂与标准答案(-1,0,1)ᵀ符号相反，但特征向量可以相差常数倍，这属于等价形式，不扣分。单位化过程正确，但在构造Q矩阵时，第二列γ₂的坐标应为(1/√2,0,-1/√2)ᵀ，但学生写成的Q矩阵中第二列是(1/√2,0,-1/√2)ᵀ，这与文字描述一致。最终Q矩阵的列向量顺序与标准答案不同，但这是允许的，只要对应特征值顺序一致即可。整体思路正确，计算准确。得5分。

题目总分：3+3+5=11分