评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确，步骤完整，与标准答案方法一致。具体分析如下：

• 步骤一：正确对原方程求一阶导数，并整理得到 \(y' = \frac{1 - x^2}{y^2 + 1}\)，推导无误。
• 步骤二：正确求二阶导数，得到 \(y'' = \frac{-2x - 2y \cdot y'}{y^2 + 1}\)，推导无误。
• 步骤三：正确令 \(y' = 0\) 求得驻点 \(x = \pm 1\)，并代入原方程求得对应 \(y\) 值，得到点 \((-1, 0)\) 和 \((1, 1)\)。
• 步骤四：正确利用二阶导数判断极值类型，在 \((-1, 0)\) 处 \(y'' = 2 > 0\) 为极小值，在 \((1, 1)\) 处 \(y'' = -1 < 0\) 为极大值，结论正确。

尽管学生在步骤二中推导 \(y''\) 时，中间步骤写为 \(y''(y^2 + 1) = -2x - 2y \cdot y'\)，与标准答案的 \(6x + 6y(y')^2 + 3y^2 y'' + 3y'' = 0\) 形式不同，但最终表达式等价，且代入计算正确，因此不扣分。

综上，学生作答逻辑严密，计算准确，得满分10分。

题目总分：10分