评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

得分：5分

理由：

• 正确使用了极限保号性：由 \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} < 0\) 推出存在 \(\delta > 0\)，使得在 \((0,\delta)\) 内 \(f(x) < 0\)。
• 正确选取了点 \(\frac{\delta}{2}\) 使得 \(f(\frac{\delta}{2}) < 0\)。
• 正确应用了零点定理：由 \(f(\frac{\delta}{2}) < 0\) 和 \(f(1) > 0\) 推出存在 \(x_0 \in (0,1)\) 使得 \(f(x_0) = 0\)。
• 逻辑完整，证明清晰。

（2）得分及理由（满分5分）

得分：4分

理由：

• 正确构造了辅助函数 \(F(x) = f(x)f'(x)\)。
• 正确使用了 \(f(0) = 0\) 的结论（虽然推导过程有瑕疵，但结论正确）。
• 正确应用罗尔定理得到 \(f'(\xi_1) = 0\)。
• 正确得到 \(F(0) = F(\xi_1) = F(x_0) = 0\)。
• 正确在 \((0,\xi_1)\) 和 \((\xi_1,x_0)\) 上分别应用罗尔定理得到两个不同的点使得 \(F'(x) = 0\)。
• 扣分点：在推导 \(f(0) = 0\) 时，学生写道"由 \(\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{f(x)}{x}=0\)"，但题目条件是 \(\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{f(x)}{x} < 0\)，这里可能是笔误。不过根据上下文，学生实际使用的是 \(f(0) = 0\) 的正确结论，且这个结论可以通过其他方式得到（如由连续性），因此只扣1分。

题目总分：5+4=9分