评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案中，首先由 \(\alpha_3 = \alpha_1 + 2\alpha_2\) 推出 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性相关，从而 \(r(A) \leq 2\)。然后利用“A 有 3 个不同特征值”推出 \(|A| = 0\)，从而 A 有 0 特征值，并且因为特征值互不相同，所以 0 特征值只有一个，因此 \(r(A) \geq 2\)。最后结合 \(r(A) \leq 2\) 与 \(r(A) \geq 2\) 得到 \(r(A) = 2\)。

思路与标准答案略有不同（标准答案用相似对角化说明秩为 2，学生用“不同特征值且行列式为 0 ⇒ 恰有一个 0 特征值 ⇒ 秩 ≥ 2”），但逻辑正确，结论正确。

扣分点：无。

得分：5 分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确由 \(\alpha_1 + 2\alpha_2 - \alpha_3 = 0\) 得到 \(A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\)，从而给出 \(Ax=0\) 的基础解系为 \(k(1,2,-1)^T\)。

由 \(\beta = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3\) 得到 \(A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \beta\)，从而给出特解 \((1,1,1)^T\)。

最后写出通解形式正确。

扣分点：无。

得分：6 分。

题目总分：5+6=11分