评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生解答过程：

• 在换元化简积分时，学生令 \(u = t^2\)，得到 \(\int_0^x 4t f(x^2) f(x^2 - t^2) dt = 2f(x^2) \int_0^{x^2} f(x^2 - u) du = x^6\)，这一步是正确的。
• 接着令 \(x^2 = X\)，得到 \(2f(X) \int_0^X f(X - \alpha) d\alpha = X^3\)，这一步也是正确的。
• 然后设 \(y = \int_0^x f(\alpha) d\alpha\)，并写出 \(2y'y = x^3\)，这一步推导正确，但学生中间有一段关于卷积求导的推导（“根据卷积求导法则及复合函数求导法则可得：\(2\left[f(x)\cdot f(0)+\int_{0}^{x}f(x - \alpha)f'(\alpha)d\alpha\right]=3x^{2}\)”）是多余的，且可能引入错误，但最终正确得到了 \(2y'y = x^3\)，因此不扣分。
• 求解 \(y\) 时，积分得到 \(y^2 = \frac{x^4}{4} + C\)，利用 \(y(0) = 0\) 得 \(C = 0\)，从而 \(y = \frac{x^2}{2}\)，这一步正确。
• 最后求导得 \(f(x) = x\)，正确。

因此，本部分解答逻辑正确，结果正确，得满分6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生解答过程：

• 学生正确写出所求级数为 \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^{1-n} n^2\)，并设 \(S_n = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}\)，但这里符号使用有误（求和下标与变量混淆），实际应为 \(S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^{n-1}} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}\)，学生意图正确，不扣分。
• 学生采用错位相减法计算级数和，方法正确但过程复杂，且计算中存在一些不严谨之处（如直接写极限值而未严格证明收敛），但最终得到正确结果 \(S = 12\)。
• 标准答案使用幂级数方法，但学生方法不同且正确，根据评分要求“思路正确不扣分”，...