评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"0"，而标准答案是"1"。该题要求计算函数\(u(x,y,z)=xy^{2}z^{3}\)在点\((1,1,1)\)处沿向量\(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\)的方向导数。方向导数的计算公式为\(\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}=\nabla u \cdot \frac{\boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{n}\|}\)。

计算过程如下：

• 梯度\(\nabla u = (y^{2}z^{3}, 2xyz^{3}, 3xy^{2}z^{2})\)
• 在点\((1,1,1)\)处，\(\nabla u(1,1,1)=(1,2,3)\)
• 向量\(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\)的模长\(\|\boldsymbol{n}\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=3\)
• 单位向量\(\frac{\boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{n}\|}=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\)
• 方向导数\(\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}=(1,2,3)\cdot(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}-1=1\)

学生答案与正确计算结果不符，存在计算错误，因此得0分。

题目总分：0分