2021年考研数学（一）考试试题 - 第21题回答

好的，我们先来逐步分析学生的作答与标准答案的差异。 --- **题目结构** 本题满分 12 分，分为两部分： - (Ⅰ) 求正交矩阵 \(P\)，使 \(P^T A P\) 为对角矩阵（应包含特征值、特征向量、正交化、单位化、构造 \(P\) 等步骤）。 - (Ⅱ) 求正定矩阵 \(C\)，使 \(C^2 = (a+3)E - A\)。 --- ## 1. 学生作答分析 学生只给出了第 (Ⅰ) 问的第一步： \[ |\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - a & -1 & 1 \\ -1 & \lambda - a & 1 \\ 1 & 1 & \lambda - a \end{vmatrix} = 0 \] 然后就结束了。 - 没有计算行列式化简。 - 没有求出特征值。 - 没有求特征向量。 - 没有正交化、单位化。 - 没有给出正交矩阵 \(P\)。 - 第 (Ⅱ) 问完全没写。 --- ## 2. 评分标准参考 (Ⅰ) 满分估计 6 分（因为 (Ⅱ) 也占 6 分，且 (Ⅱ) 依赖 (Ⅰ) 的结果）。 按步骤大致分配： - 特征多项式化简并得到特征值：2 分 - 求特征向量（线性无关）：2 分 - 正交化、单位化：1 分 - 构造正交矩阵 \(P\)：1 分 学生只写了行列式定义，相当于只写了“思路开端”，没有实质计算，给分很低。 (Ⅱ) 满分 6 分，学生没写，0 分。 --- ## 3. 扣分与给分 (Ⅰ) 部分： - 行列式写对，但没化简，没有特征值，没有特征向量，没有正交矩阵。 - 这相当于只完成了题意的翻译（写出特征方程），没有解出任何结果。 - 给分：1 分（表示起步正确，但未完成主要计算）。 (Ⅱ) 部分： - 完全空白，0 分。 --- ## 4. 最终分数 \[ \text{(Ⅰ)} : 1 \quad \text{(Ⅱ)} : 0 \] 总分：\(1 + 0 = 1\) 分。 ---

评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生只写出了特征多项式 \(|\lambda E - A| = 0\) 的行列式形式，没有进一步计算特征值、特征向量...

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