评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答的整体思路正确，利用了积分区域的对称性简化了被积函数，将原积分化为只含 \(x^2\) 的二重积分，这是正确的第一步。然后学生选择使用极坐标变换进行计算，虽然方法不同于标准答案的直角坐标直接积分，但思路正确且最终结果正确。在极坐标变换中，学生正确地将区域分为两部分：从 \(\theta=0\) 到 \(\pi/4\)（对应抛物线边界）和从 \(\theta=\pi/4\) 到 \(\pi/2\)（对应圆弧边界），并正确设置了积分限。计算过程中，学生正确进行了变量替换和积分运算，最终得到正确结果 \(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{5}\)。

然而，学生在极坐标变换的表达中存在一处逻辑错误：在计算第一部分积分时，写为 \(\int_{0}^{\frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}}r^{2}\cos^{2}\theta\cdot rdr\)，这里的积分上限应为 \(r\) 从 0 到 \(\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\)，但实际在极坐标下，抛物线 \(y=x^2\) 对应 \(r\sin\theta = r^2\cos^2\theta\)，即 \(r = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\)，学生此处表达正确，但后续在化简 \(\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin^{4}\theta}{\cos^{6}\theta}d\theta\) 时，写为 \(\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{4}\theta d\tan\theta\)，这里实际上应该是 \(\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{4}\theta \sec^2\theta d\theta\)，因为 \(d(\tan\theta) = \sec^2\theta d\theta\)，而学生直接写为 \(d\tan\theta\)，虽然后续计算正确（因为 \(\sec^2\theta d\theta = d\tan\theta\)），但表达不严谨，属于轻微逻辑错误。考虑到最终结果正确且主要步骤无误，扣1分。...