评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生答案基本正确，但存在一些细节问题：

• 正确求出导数 \(f'(x) = (2x-1)\sqrt{1+x^2}\) 并找到驻点 \(x=\frac{1}{2}\)
• 正确分析单调性：在 \((-\infty,\frac{1}{2})\) 递减，在 \((\frac{1}{2},+\infty)\) 递增
• 正确指出 \(f(1)=0\) 且 \(f(\frac{1}{2})<0\)
• 正确分析当 \(x\to -\infty\) 时 \(f(x)>0\)
• 正确应用连续函数介值定理得到在 \((-\infty,\frac{1}{2})\) 内有一个零点
• 正确得出零点个数为2的结论

扣分点：

• 在计算 \(x\to -\infty\) 极限时，积分变量写成了 \(dx\) 而不是 \(dt\)，这是明显的笔误，但属于逻辑错误，扣1分
• 在分析 \((\frac{1}{2},+\infty)\) 区间时，只提到 \(x=1\) 是一个零点，但没有严格证明这是唯一零点，论证不够完整，扣1分

得分：8分

题目总分：8分