评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

学生答案中正确计算了偏导数 \(\frac{\partial z}{\partial x} = 2ax\) 和 \(\frac{\partial z}{\partial y} = 2by\)，并在点 (3,4) 处得到方向导数的表达式。学生正确指出最大方向导数为梯度的模，并列出方程 \(\sqrt{(6a)^2 + (8b)^2} = 10\)，即 \(36a^2 + 64b^2 = 100\)。

然而，学生忽略了关键条件：方向导数最大的方向应与给定方向 \(l = -3i - 4j\) 一致。标准答案通过梯度方向与给定方向平行得到 \(a = b\) 的关系，而学生答案中缺少这一步，直接给出 \(a = -1, b = -1\)。虽然最终结果正确，但缺少关键推导步骤，属于逻辑不完整。

扣分：缺少方向一致性条件推导，扣2分。

得分：5 - 2 = 3分

（Ⅱ）得分及理由（满分5分）

学生正确写出曲面面积公式 \(\iint_{\Sigma} ds = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dxdy\)，代入 \(z = 2 - x^2 - y^2\) 后得到被积函数 \(\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\)。正确采用极坐标变换，积分区域 \(D: x^2 + y^2 \leq 2\) 对应 \(r \in [0,\sqrt{2}]\)，计算过程完整，最终结果 \(\frac{13}{3}\pi\) 正确。

得分：5分

题目总分：3+5=8分