评分及理由

（1）体积计算（满分2分）

学生计算体积：\(\iiint_{\Omega} dV = \int_{0}^{1} dz \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1-z} r \, dr = \frac{\pi}{6}\)，但标准答案为\(\frac{\pi}{3}\)。错误在于积分中缺少雅可比行列式（应为\(r\)，但积分写为\(\int r \, dr\)，实际计算正确但结果错误）。计算过程：\(\int_{0}^{1-z} r \, dr = \frac{(1-z)^2}{2}\)，乘以\(2\pi\)和积分\(dz\)后应为\(\pi \int_{0}^{1} (1-z)^2 dz = \frac{\pi}{3}\)，但学生得到\(\frac{\pi}{6}\)，说明计算错误。扣2分。

（2）\(\bar{x}\)计算（满分1分）

学生计算\(\iiint_{\Omega} x \, dV = 0\)，正确，由对称性可得。得1分。

（3）\(\bar{y}\)计算（满分3分）

学生计算\(\iiint_{\Omega} y \, dV = \int_{0}^{1} dz \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1-z} (z + r\sin\theta) r \, dr\)。积分\(\int_{0}^{2\pi} \sin\theta \, d\theta = 0\)，正确部分为\(\int_{0}^{2\pi} z \, d\theta = 2\pi z\)，因此积分应为\(\int_{0}^{1} dz \int_{0}^{1-z} 2\pi z r \, dr = \pi \int_{0}^{1} z(1-z)^2 dz = \frac{\pi}{12}\)，但学生得到\(\frac{\pi}{3}\)，计算错误。扣3分。

（4）\(\bar{z}\)计算（满分3分）

学生计算\(\iiint_{\Omega} z \, dV = \int_{0}^{1} dz \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1-z} z r \, dr = \frac{\pi}{12}\)，正确。得3分。

（5）形心坐标结果（满分1分）

学生得出形心坐标为\((...