评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是方向向量 $(\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\frac{\sqrt{2}}{2})$，而题目要求的是方向导数的最小值。

分析：方向导数的计算公式为 $\nabla f \cdot \vec{u}$，其中 $\vec{u}$ 是单位方向向量。方向导数的最小值出现在梯度反方向，其值为 $-|\nabla f|$。

在点 $(-1,0,1)$ 处计算梯度：

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xe^{yz^2} = -2$
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2z^2e^{yz^2} = 1$
• $\frac{\partial f}{\partial z} = 2x^2yze^{yz^2} = 0$

所以 $\nabla f = (-2,1,0)$，$|\nabla f| = \sqrt{(-2)^2+1^2+0^2} = \sqrt{5}$

方向导数最小值应为 $-\sqrt{5}$，而学生给出的是一个方向向量，没有计算最小值，且该方向向量与梯度方向不一致。

由于学生没有给出题目要求的数值答案，而是给出了一个方向向量，这属于逻辑错误，因此得0分。

题目总分：0分