2025年张宇终极预测8套卷（一） - 第18题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答在极坐标变换部分基本正确，正确推导出曲线方程在极坐标下的表达式 \( r = \frac{2}{1 + \cos^2\theta} \)，并正确写出二重积分在极坐标下的形式：

\[ \iint_D \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, da = \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{\frac{2}{1 + \cos^2\theta}} \frac{r}{\sqrt{1 - r^2 \cos^2\theta}} \, dr. \]

在对 \( r \) 的积分中，学生正确使用代换 \( u = 1 - r^2 \cos^2\theta \)，并得到中间结果：

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{-1}{\cos^2\theta} \left( \sqrt{1 - \frac{4\cos^2\theta}{(1 + \cos^2\theta)^2}} - 1 \right) d\theta. \]

这与标准答案一致。但在后续化简中，学生写为：

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{\cos^2\theta} - \frac{1}{\cos^2\theta \sqrt{1 + \cos^2\theta}} \right) d\theta, \]

这里出现逻辑错误。标准答案为：

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 - \frac{1 - \cos^2\theta}{1 + \cos^2\theta} \right) \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\tan^2\theta + 2} d(\tan\theta). \]

学生的表达式 \( \frac{1}{\cos^2\theta \sqrt{1 + \cos^2\theta}} \) 与标准答案不符，且未完成积分计算，导致最终结果缺失。由于存在逻辑错误且未得出正确数值结果，扣分。

扣分项：

• 逻辑错误：在化简过程中出现错误表达式，扣2分。
• 未完成计算：未得出最终数值结果，扣2分。

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