2022年考研数学（二）考试试题 - 第15题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案与标准答案完全一致，均为 \(\frac{\pi}{12}\)。该题考察极坐标下曲线围成区域面积的计算，正确公式为 \(\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta\)。对于曲线 \(r = \sin 3\theta\) 在区间 \([0, \frac{\pi}{3}]\) 上，计算过程为：

\[ \text{面积} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 3\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 - \cos 6\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{4} \left[ \theta - \frac{\sin 6\theta}{6} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12}. \]

学生答案正确，得5分。

题目总分：5分

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