评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确求导得到 \( f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \)，并令导数为零解得 \( x = 1 \)。通过分析导数符号变化，得出在 \( (0,1) \) 上 \( f'(x) < 0 \)，在 \( (1,+\infty) \) 上 \( f'(x) > 0 \)，从而判断 \( x=1 \) 处取得最小值。虽然学生将导数误写为 \( f(x) \)（应为 \( f'(x) \)），但根据上下文可判断为笔误，不影响核心逻辑。最小值计算正确为 \( f(1) = 1 \)。但未明确写出最小值点 \( (1,1) \) 中的纵坐标为函数值，表述略有瑕疵。扣1分。

得分：4分

（2）得分及理由（满分6分）

学生尝试通过假设极限存在并设为 \( a \)，代入不等式得到 \( \ln a + \frac{1}{a} < 1 \)，但未结合第一问结论 \( f(x) \geq 1 \) 推导出 \( a = 1 \)。后续引入 \( g(x) = 1 - \ln x - \frac{1}{x} \) 并求导，但未说明其与数列单调性或极限的关系。证明过程缺乏关键步骤：未证明数列单调有界，且极限存在性证明不完整。逻辑链条断裂，核心论证缺失。

得分：1分

题目总分：4+1=5分