评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生通过展开二次型并整理成矩阵形式，正确推导出二次型对应的矩阵为 \(2\alpha\alpha^{T}+\beta\beta^{T}\)。虽然标准答案中写的是 \(2\alpha^{\top}\alpha+\beta^{\top}\beta\)，但考虑到 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是列向量，\(\alpha\alpha^{T}\) 与 \(\alpha^{\top}\alpha\) 是等价的（都是3×3矩阵），因此这里不视为错误。推导过程完整，逻辑正确。得5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生只写出了 \(\alpha\beta^{T}=0\)，这是由 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 正交得出的正确结论，但后续证明缺失。学生没有利用矩阵 \(A=2\alpha\alpha^{T}+\beta\beta^{T}\) 计算特征值，也没有说明特征值2、1、0的由来，更没有得出标准形为 \(2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\) 的结论。因此，该部分证明不完整，只能得到部分分数。考虑到学生正确写出了正交条件，给1分。

题目总分：5+1=6分