评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确分析了三种情况（x>0, x=0, x<0），并正确使用了极限和等价无穷小替换。在x<0时，正确使用t=e^{nx}代换并利用sin t ~ t - t^3/6得到正确结果；在x>0时，正确分析分子分母的阶数关系。最终得到的分段函数表达式完全正确。

得分：6分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确理解了旋转体体积的计算方法，使用柱壳法（绕y轴旋转体积公式V=2π∫x·f(x)dx），并正确识别出需要计算两个区域的体积。

但在计算V₁时存在逻辑错误：

• 在y轴左侧区域（x<0），学生写出的积分表达式V₁=2π∫∫(-x)dxdy是正确的，但在具体计算时写成了2π∫_{-1}^{0}(-x)·[x/(1+x²)]dx，这实际上就是2π∫_{-1}^{0}[-x²/(1+x²)]dx
• 然而学生错误地将其拆分为2π∫_{-1}^{0}(-1/2x² + x²/(1+x²))dx，这个拆分是错误的，因为-x²/(1+x²) ≠ -1/2x² + x²/(1+x²)
• 正确的拆分应该是：-x²/(1+x²) = -1 + 1/(1+x²)
• 由于这个计算错误，导致V₁的结果错误

在计算V₂时，学生正确计算了2π∫_{0}^{1}x·[x/2]dx = π/3

虽然最终答案凑巧正确，但中间计算过程存在逻辑错误。

扣分：由于存在明显的计算逻辑错误，扣2分

得分：4分

题目总分：6+4=10分