评分及理由

（1）利用轮换对称性化简积分（满分4分）

学生正确使用了轮换对称性，将原积分转化为两个对称形式的平均值，并正确推导出 \( I = \iint_D (x^2 + y^2 - xy) d\sigma \)。这一步思路正确，计算无误，得4分。

（2）变量代换处理（满分4分）

学生进行了正确的变量代换 \( x = 1 + u, y = 1 + v \)，将积分区域转换为单位圆。在化简被积函数时，学生写为 \( u^2 + v^2 + u + v - uv + 1 \)，然后指出由于对称性，\( \iint_{D'} (u + v - uv) d\sigma = 0 \)，从而得到 \( I = \iint_{D'} (u^2 + v^2 + 1) d\sigma \)。这里需要验证对称性：

• \( u \) 和 \( v \) 的奇函数在单位圆上积分为0，所以 \( \iint u d\sigma = 0 \)，\( \iint v d\sigma = 0 \) 正确。
• 但 \( uv \) 是偶函数吗？实际上，\( uv \) 关于 \( u \) 和 \( v \) 都是奇函数？不，\( u \) 奇、\( v \) 奇，乘积为偶，所以 \( \iint uv d\sigma \) 不一定为0。学生此处逻辑错误，误认为 \( \iint uv d\sigma = 0 \)，但实际上在单位圆上 \( \iint uv d\sigma = 0 \) 成立（因为积分区域关于 \( u, v \) 轴对称，且 \( uv \) 是奇函数？仔细分析：区域关于 \( u \) 轴对称时，\( uv \) 对 \( u \) 是奇函数，所以积分确实为0）。所以学生此处正确，不扣分。

因此这一步整体正确，得4分。

（3）极坐标计算（满分4分）

学生正确转换为极坐标，积分区域 \( 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi \)，被积函数 \( u^2 + v^2 + 1 = r^2 + 1 \)，面积元素 \( r dr d\theta \)，所以积分变为 \( \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (r^3 + r) dr \)。计算： \[ \int_0^1 (r^3 + r) dr ...