评分及理由

（1）泰勒展开部分（满分4分）

学生正确对f(x)在x=0处进行泰勒展开，并正确写出积分表达式。但在处理余项时存在问题，泰勒展开的余项应使用拉格朗日余项形式，且ξ应依赖于x，而学生直接写成ξ₁，这在严格意义上是不准确的。但由于后续计算中能正确使用，此处扣1分。得3分。

（2）代数运算部分（满分4分）

学生正确计算了∫₀ᵃf(x)dx的表达式和a/2[3f(0)-f(-a)]的表达式，代数运算过程完整且正确。得4分。

（3）余项处理部分（满分4分）

这是关键错误部分。学生最后得出的是1/12f″(ξ)a³，而题目要求证明的是5/12f″(ξ)a³。学生没有处理两个不同余项ξ₁和ξ₂的合并问题，也没有利用介值定理证明存在统一的ξ。这是严重的逻辑错误，扣4分。得0分。

题目总分：3+4+0=7分