2025年考研数学（一）考试试题 - 第16题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“1/2”。

首先，我们根据题意进行验算。已知：

• A与B相互独立
• P(A) = 2P(B)
• P(A∪B) = 5/8

由独立性和加法公式： P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) 设 P(B) = p，则 P(A) = 2p，代入得： 5/8 = 2p + p - (2p)(p) = 3p - 2p² 整理得：16p² - 24p + 5 = 0 解得 p = 1/4 或 p = 5/4（舍去，因为概率不能大于1） 所以 P(A) = 1/2, P(B) = 1/4

所求概率为：在A、B至少有一个发生的条件下，A、B中恰有一个发生的概率，即： P(恰有一个发生 | 至少有一个发生) = P((A∩B̅)∪(A̅∩B)) / P(A∪B) = [P(A) + P(B) - 2P(A∩B)] / P(A∪B) 由于独立，P(A∩B) = P(A)P(B) = (1/2)(1/4) = 1/8 代入得： 分子 = 1/2 + 1/4 - 2×(1/8) = 3/4 - 1/4 = 1/2 分母 = 5/8 所以概率 = (1/2) / (5/8) = (1/2)×(8/5) = 4/5

学生答案1/2是计算过程中的分子，没有除以分母P(A∪B)，属于逻辑错误（条件概率计算不完整）。因此不能给满分。

得分：0分

题目总分：0分

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