评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( \frac{1}{2} \)，而标准答案是 \( \frac{4}{5} \)。

首先，题目要求计算在 \( A, B \) 至少有一个发生的条件下，\( A, B \) 中恰有一个发生的概率，即条件概率 \( P((A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) \mid A \cup B) \)。

已知 \( A \) 与 \( B \) 相互独立，且 \( P(A) = 2P(B) \)，\( P(A \cup B) = \frac{5}{8} \)。

设 \( P(B) = p \)，则 \( P(A) = 2p \)。由独立性，\( P(A \cap B) = P(A)P(B) = 2p \cdot p = 2p^2 \)。

由并集概率公式：\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 2p + p - 2p^2 = 3p - 2p^2 = \frac{5}{8} \)。

解方程：\( 3p - 2p^2 = \frac{5}{8} \)，两边乘以 8 得 \( 24p - 16p^2 = 5 \)，即 \( 16p^2 - 24p + 5 = 0 \)。

解得 \( p = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 320}}{32} = \frac{24 \pm 16}{32} \)，所以 \( p = \frac{40}{32} = \frac{5}{4} \)（舍去，因为概率不能大于 1）或 \( p = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \)。

因此，\( P(B) = \frac{1}{4} \)，\( P(A) = \frac{1}{2} \)，\( P(A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \)。

恰有一个发生的概率为 \( P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{2}...