评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确求解微分方程，得到正确解 \(y = -\frac{1}{2}\ln x + \frac{1}{4}x^2\)。虽然计算过程中积分公式的写法与标准答案略有不同（标准答案用 \(e^{\int \frac{2}{x}dx}\)，学生用 \(e^{-\int P(x)dx}\) 但 \(P(x)=-\frac{2}{x}\)，实质相同），且分部积分过程详细正确，最终代入初始条件得到正确常数。此部分无逻辑错误，得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确计算导数 \(y' = -\frac{1}{2x} + \frac{1}{2}x\)，应用弧长公式，将 \(1+(y')^2\) 正确化简为 \(\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2x}\right)^2\)，并正确计算定积分得到弧长 \(\frac{e^2+1}{4}\)。虽然学生答案中弧长结果写为 \(\frac{e^2+1}{4}\)，而标准答案为 \(\frac{e^2+1}{4}\)，但根据禁止扣分规则，数字识别差异（如1和7）不扣分，且从上下文可知是正确结果。此部分无逻辑错误，得满分6分。

题目总分：6+6=12分