评分及理由

（1）区域划分与极坐标转换（满分3分）

学生正确将区域D划分为D₁和D₂，并正确转换为极坐标形式：
- D₁：0 ≤ r ≤ 2，0 ≤ θ ≤ π/2
- D₂：0 ≤ r ≤ 2/(sinθ-cosθ)，π/2 ≤ θ ≤ π
极坐标转换公式正确：∬(x-y)²/(x²+y²)dxdy = ∬(cosθ-sinθ)²·rdrdθ
得3分

（2）积分计算过程（满分6分）

I₁计算：
- 内层积分∫rdr计算正确，得到(cosθ-sinθ)²·(1/2)r²
- 代入上限r=2/(sinθ-cosθ)后化简为2，这一步正确
- 外层积分∫2dθ从π/2到π计算正确，得到π
得3分

I₂计算：
- 内层积分∫rdr从0到2计算正确，得到2(cosθ-sinθ)²
- (cosθ-sinθ)²化简为1-sin2θ正确
- 积分∫(1-sin2θ)dθ计算正确
- 但最后计算错误：2∫(1-sin2θ)dθ = 2[θ+(1/2)cos2θ]从0到π/2 = 2[(π/2+1/2·(-1))-(0+1/2·1)] = 2(π/2-1) = π-2
学生计算为π-2，正确
得3分

（3）最终结果（满分3分）

学生得到I = I₁ + I₂ = π + (π-2) = 2π-2
但最终写为2(π-1)，这是等价的，因为2π-2 = 2(π-1)
结果正确
得3分

题目总分：3+6+3=12分