评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确写出二次型矩阵A，计算特征多项式得到特征值4,4,2正确。求解特征向量时，对于λ=4得到α₁=(0,1,0)ᵀ和α₂=(1,0,1)ᵀ，对于λ=2得到α₃=(1,0,-1)ᵀ，这些特征向量线性无关且相互正交。

但在正交矩阵Q的构造中存在错误：学生将η₁=(0,1,0)ᵀ放在第一列，η₂=(1/√2,0,1/√2)ᵀ放在第二列，η₃=(1/√2,0,-1/√2)ᵀ放在第三列，这与标准答案中向量的排列顺序不同，但这是允许的，因为特征向量的排列顺序可以调整。

然而，学生给出的Q矩阵为： \[Q=\begin{bmatrix}0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\1&0&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\] 这个矩阵的第二行应该是[1,0,0]，但标准答案中对应位置是[0,1,0]。这里可能是书写或识别错误，但不影响正交变换的结果。

学生正确得到标准形4y₁²+4y₂²+2y₃²。由于正交矩阵的构造有轻微错误但不影响最终结果，扣1分。

得分：5分

（2）得分及理由（满分6分）

学生利用正交变换后的标准形，正确写出f(x)≥2(y₁²+y₂²+y₃²)，并得出min f(x)/(xᵀx)=2。

但证明过程不够严谨：学生直接写f(x₁,x₂,x₃)≥2(y₁²+y₂²+y₃²)，然后直接得出min f(X)/(XᵀX)=2XᵀX/XᵀX=2，没有明确指出x≠0时y≠0，也没有说明等号成立的条件（当y₁=y₂=0，y₃≠0时等号成立）。

证明思路正确但不够完整，扣1分。

得分：5分

题目总分：5+5=10分