评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确求解了特征方程，得到齐次通解，并代入非齐次方程确定常数。计算过程正确，最终得到 \( f(x) = e^x \)。但学生在代入 \( f''(x) + f(x) = 2e^x \) 时，写出的方程组为 \( \begin{cases} 2C_1 = 2 \\ C_2 + 4C_2 = 0 \end{cases} \)，其中第二个方程应为 \( 5C_2 = 0 \)，但学生写成了 \( C_2 + 4C_2 = 0 \)，这实际上是正确的代数运算（因为 \( C_2 + 4C_2 = 5C_2 \)），只是书写不够规范，但逻辑和结果正确。因此不扣分。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确写出 \( y = e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} dt \)，并求出一阶导数 \( y' = 2x e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} dt + 1 \)（正确）。在求二阶导数时，学生写出 \( y'' = (2 + 4x^2) e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} dt + 2x \)，这与标准答案 \( 2 e^{x^2}(1 + 2x^2) \int_0^x e^{-t^2} dt + 2x \) 等价（因为 \( 2(1 + 2x^2) = 2 + 4x^2 \)），因此计算正确。学生令 \( y'' = 0 \)，得到 \( x = 0 \)，并判断了 \( y'' \) 在 \( x = 0 \) 两侧的符号变化，得出拐点为 \( (0, 0) \)。但在写拐点条件时，学生写了“令 \( y'' = 0 \)，则 \( \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} \)”，这里的“则 \( \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} \)”表述不严谨（因为 \( y'' = 0 \) 只给出 \( x = 0 \)，而 \( y = 0 \) 是代入 \( x = 0 \) 得到的），但最终拐点坐标正确，且逻辑实质正确。因此不扣分。得5分。

题目总分：5+5=10分