评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是-1，而标准答案是1。首先，我们需要解微分方程 \(y'' + 2y' + y = 0\)，其特征方程为 \(r^2 + 2r + 1 = 0\)，解得 \(r = -1\)（重根），因此通解为 \(y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-x}\)。代入初始条件 \(y(0) = 0\) 得 \(C_1 = 0\)，所以 \(y(x) = C_2 x e^{-x}\)。再代入 \(y'(0) = 1\)，计算 \(y'(x) = C_2 e^{-x} - C_2 x e^{-x}\)，代入 \(x=0\) 得 \(y'(0) = C_2 = 1\)，因此 \(y(x) = x e^{-x}\)。接着计算积分 \(\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx\)，利用分部积分或已知公式，该积分值为1。学生答案-1与正确结果1不符，存在计算错误或逻辑错误，因此不得分。

题目总分：0分

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是-1，而标准答案是1。首先，我们需要解微分方程 \(y'' + 2y' + y = 0\)，其特征方程为 \(r^2 + 2r + 1 = 0\)，解得 \(r = -1\)（重根），因此通解为 \(y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-x}\)。代入初始条件 \(y(0) = 0\) 得 \(C_1 = 0\)，所以 \(y(x) = C_2 x e^{-x}\)。再代入 \(y'(0) = 1\)，计算 \(y'(x) = C_2 e^{-x} - C_2 x e^{-x}\)，代入 \(x=0\) 得 \(y'(0) = C_2 = 1\)，因此 \(y(x) = x e^{-x}\)。接着计算积分 \(\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx\)，利用分部积分或已知公式，该积分值为1。学生答案-1与正确结果1不符，存在计算错误或逻辑错误，因此不得分。

题目总分：0分