评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生作答中第(1)部分正确。学生构造了辅助函数 \(F(x) = f(x) - (2-x)e^{x^2}\)，并计算了 \(F(1) = -e < 0\) 和 \(F(2) = \int_1^2 e^{t^2} dt > 0\)，然后应用零点定理得出存在 \(\xi \in (1,2)\) 使得 \(F(\xi) = 0\)，即 \(f(\xi) = (2-\xi)e^{\xi^2}\)。这与标准答案法1的思路一致，逻辑完整正确。因此该部分得满分5.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生作答中第(2)部分存在逻辑错误。学生首先对 \(f(x)\) 在区间 \([1,2]\) 上应用拉格朗日中值定理，得到存在 \(a \in (1,2)\) 使得 \(f(2) - f(1) = f'(a) = e^{a^2}\)。但随后学生试图应用柯西中值定理时，写成了 \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 的形式，这是不正确的柯西中值定理应用方式。标准答案中正确应用柯西中值定理的形式是 \(\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)} = \frac{f'(\eta)}{g'(\eta)}\)。学生最后还引入了 \(G(x) = xe^{x^2}\) 但未完成证明。由于学生未能正确完成证明，存在逻辑错误，扣3分，得2.5分。

题目总分：5.5+2.5=8分

评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生作答中第(1)部分正确。学生构造了辅助函数 \(F(x) = f(x) - (2-x)e^{x^2}\)，并计算了 \(F(1) = -e < 0\) 和 \(F(2) = \int_1^2 e^{t^2} dt > 0\)，然后应用零点定理得出存在 \(\xi \in (1,2)\) 使得 \(F(\xi) = 0\)，即 \(f(\xi) = (2-\xi)e^{\xi^2}\)。这与标准答案法1的思路一致，逻辑完整正确。因此该部分得满分5.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生作答中第(2)部分存在逻辑错误。学生首先对 \(f(x)\) 在区间 \([1,2]\) 上应用拉格朗日中值定理，得到存在 \(\alpha \in (1,2)\) 使得 \(f(2) = e^{\alpha^2}\)。但随后学生试图应用柯西中值定理时，写成了 \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 的形式，这是不正确的柯西中值定理应用方式。标准答案...