评分及理由

（1）得分及理由（满分未知，暂按部分给分）

学生给出的理由是“\(|\alpha,A\alpha|\neq0\)，故\(r(\alpha,A\alpha)=2\)，\(r(P)=2\)，故\(P\)可逆”。这里逻辑不完整：没有说明为什么 \(\alpha\) 和 \(A\alpha\) 线性无关。题目条件“\(\alpha\) 不是 \(A\) 的特征向量”是保证线性无关的关键，但学生没有明确使用这一条件进行推理，只是直接断言行列式不为0。因此，该部分证明不严谨，不能给满分。考虑到思路大致正确，但推理有缺漏，扣1分（若该小问满分是3分，则给2分；若满分是4分，则给3分，具体需结合整题分值分配）。

（2）得分及理由（满分未知，暂按部分给分）

学生由 \(A^2\alpha + A\alpha - 6\alpha = 0\) 推出 \((A^2 + A - 6E)\alpha = 0\)，然后直接得出 \(A^2 + A - 6E = 0\)，这是错误的推理，因为 \(\alpha\) 只是一个非零向量，不能推出矩阵多项式为零矩阵。正确做法应利用 \(P^{-1}AP\) 的计算：设 \(A\alpha = x\alpha + y A\alpha\) 是不对的，应设 \(A(A\alpha) = -A\alpha + 6\alpha\)，然后得到 \(AP = P\begin{pmatrix}0 & 6 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\) 或类似形式，进而计算 \(P^{-1}AP\)。学生此处逻辑错误严重，但后面直接写出了 \(P^{-1}AP = \begin{pmatrix}2 & \\ & -3\end{pmatrix}\) 并且判断相似对角化正确，说明可能知道最终答案，但推导过程错误。因此此部分主要步骤错误，应扣较多分（若该小问满分是7分，则给2分；若满分是8分，则给3分）。

题目总分：按常见分配(I)约4分，(II)约7分，则总分 = 3 + 3 = 6分

题目总分：6分

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生证明P可逆的思路是判断r(P)=2，但推理不完整。正确证明需要说明α和Aα线性无关：若α和Aα线性相关，则存在k使Aα=kα，即α是特征向量，与已知矛盾。学生直接断言|α,Aα|≠0而未给出这个关键...