评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 -1，而标准答案是 1。首先需要解微分方程 \(y'' + 2y' + y = 0\)，其特征方程为 \(r^2 + 2r + 1 = 0\)，解得 \(r = -1\)（重根）。因此通解为 \(y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-x}\)。代入初始条件 \(y(0) = 0\) 得 \(C_1 = 0\)，再由 \(y'(0) = 1\) 得 \(C_2 = 1\)，所以特解为 \(y(x) = x e^{-x}\)。计算积分 \(\int_0^{+\infty} y(x) \, dx = \int_0^{+\infty} x e^{-x} \, dx\)，利用分部积分或已知公式（该积分值为 1），得到结果为 1。学生答案 -1 与正确结果不符，存在计算错误或逻辑错误，因此本题得 0 分。

题目总分：0分