评分及理由

（1）求偏导数（满分2分）

学生正确计算了一阶偏导数 \(f_x' = 3x^2 - y\) 和 \(f_y' = 24y^2 - x\)，以及二阶偏导数 \(A = 6x\)，\(B = -1\)，\(C = 48y\)。此处无错误，得2分。

（2）求驻点（满分3分）

学生通过联立方程组正确解得驻点 \((0,0)\) 和 \((\frac{1}{6}, \frac{1}{12})\)。计算过程清晰无误，得3分。

（3）极值判别（满分3分）

学生在 \((0,0)\) 处正确计算 \(AC - B^2 = -1 < 0\)，判断为非极值点；在 \((\frac{1}{6}, \frac{1}{12})\) 处正确计算 \(AC - B^2 = 3 > 0\) 且 \(A = 1 > 0\)，判断为极小值点。判别过程完整正确，得3分。

（4）计算极小值（满分2分）

学生代入计算 \(f(\frac{1}{6}, \frac{1}{12})\) 时，过程为： \[ \frac{1}{216} + 8 \times \frac{1}{1728} - \frac{1}{72} = \frac{1}{216} + \frac{1}{216} - \frac{3}{216} = -\frac{1}{216} \] 但最终结果误写为 \(-\frac{1}{108}\)。根据标准答案，正确值应为 \(-\frac{1}{216}\)，此处存在计算错误。由于计算过程正确但结果错误，扣1分，得1分。

题目总分：2+3+3+1=9分