评分及理由

（I）得分及理由（满分5.5分）

学生作答中构造了函数 \(F(x)=f(x)-(2-x)e^{x^2}\)，计算了 \(F(1)=-e<0\) 和 \(F(2)=\int_1^2 e^{t^2}dt>0\)，并正确应用零点定理得出存在 \(\xi\in(1,2)\) 使 \(F(\xi)=0\)，即 \(f(\xi)=(2-\xi)e^{\xi^2}\)。该思路与标准答案法1一致，推导完整正确，因此本小题得满分5.5分。

（II）得分及理由（满分5.5分）

学生作答分为两部分：

1. 第一部分错误地使用了拉格朗日中值定理于 \(f(x)\)，得出 \(f(2)=e^{a^2}\)，这与题目要求证明的 \(f(2)=\ln 2\cdot \eta e^{\eta^2}\) 无关，属于逻辑错误，扣2分。
2. 第二部分正确引入 \(g(x)=\ln x\)，并写出柯西中值定理形式 \(\frac{f(2)}{\ln 2}\)，但未完整写出定理条件与结论，且后续引入 \(G(x)=xe^{x^2}\) 未与证明过程衔接，证明不完整。考虑到核心思路正确但未完成推导，扣2分。

本小题共扣4分，得1.5分。

题目总分：5.5+1.5=7分