评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答中，正确设定了切点M的坐标，并写出了切线方程，求出了T点的横坐标，从而得到TP的长度，并正确计算了三角形MTP的面积。同时，正确写出了曲线、MP和x轴所围成的面积表达式。这些都是正确的步骤。

然而，在建立面积比例关系时，学生写成了 \( 2\int_{0}^{X}f(x)dx = \frac{3}{2}\frac{X^{2}}{f^{\prime}(x)} \)，这里出现了两个关键错误：

1. 等式左边是面积的两倍，右边是三角形面积的三倍，但根据题意，面积之比为3:2，即 \( \frac{\int_{0}^{x} f(t) dt}{\frac{1}{2}\frac{y^2}{y'}} = \frac{3}{2} \)，所以应该是 \( \int_{0}^{x} f(t) dt = \frac{3}{4}\frac{y^2}{y'} \)。学生错误地将比例关系写成了 \( 2S_1 = 3S_2 \)，这是逻辑错误。
2. 在右边表达式中，学生写成了 \( \frac{X^{2}}{f^{\prime}(x)} \)，但根据前面的推导，应该是 \( \frac{Y^{2}}{f^{\prime}(x)} \)，这里将Y误写为X，可能是识别错误或笔误，但由于上下文Y是纵坐标，X是横坐标，这个错误导致了表达式的不一致，属于逻辑错误。

由于在建立核心微分方程时出现逻辑错误，后续求解过程缺失，因此本题不能给满分。考虑到学生正确完成了部分步骤（如切线方程、面积计算），但关键方程错误，扣分较多。给予部分分数。

得分：4分（满分11分）

题目总分：4分