评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为"十二分之π"，即 \(\frac{\pi}{12}\)，这与标准答案完全一致。

该题考查极坐标下求面积的方法，正确公式应为 \(\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta\)。

对于曲线 \(r=\sin 3\theta\) 在区间 \([0, \frac{\pi}{3}]\) 上围成的区域，面积计算为：

\[A = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 3\theta d\theta\]

\[= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1-\cos 6\theta}{2} d\theta\]

\[= \frac{1}{4}\left[\theta - \frac{\sin 6\theta}{6}\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12}\]

学生答案正确，得5分。

题目总分：5分