评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"1/8"，与标准答案\(\frac{1}{8}\)完全一致。

本题考察傅里叶级数和函数的性质。函数\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上定义，其傅里叶正弦级数为\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\pi x\)。由于正弦函数是奇函数，该级数在区间\([-1,1]\)上表示的是\(f(x)\)的奇延拓。

要求\(S\left(-\frac{7}{2}\right)\)，需要利用傅里叶级数的周期性。傅里叶正弦级数具有周期2，且是奇函数，因此：

\(S\left(-\frac{7}{2}\right) = -S\left(\frac{7}{2}\right)\)

由于周期为2，\(S\left(\frac{7}{2}\right) = S\left(\frac{7}{2} - 4\right) = S\left(-\frac{1}{2}\right)\)

再由奇函数性质，\(S\left(-\frac{1}{2}\right) = -S\left(\frac{1}{2}\right)\)

在\(x=\frac{1}{2}\)处，函数定义从0变为\(x^2\)，根据傅里叶级数收敛定理，在不连续点处，傅里叶级数收敛于函数左右极限的平均值：

\(S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{f\left(\frac{1}{2}^-\right) + f\left(\frac{1}{2}^+\right)}{2} = \frac{0 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}{2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8}\)

因此\(S\left(-\frac{7}{2}\right) = -S\left(\frac{7}{2}\right) = -S\left(-\frac{1}{2}\right) = S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8}\)

学生答案正确，得5分。

题目总分：5分