评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

该题考查方向导数的计算。函数 \(u(x,y,z) = xy^2z^3\) 在点 \((1,1,1)\) 沿向量 \(\boldsymbol{n} = (2,2,-1)\) 的方向导数计算公式为： \[ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} = \nabla u \cdot \frac{\boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{n}\|} \] 其中梯度 \(\nabla u = (y^2 z^3, 2xy z^3, 3xy^2 z^2)\)，在点 \((1,1,1)\) 处为 \((1, 2, 3)\)。向量 \(\boldsymbol{n}\) 的模为 \(\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\)，因此单位方向向量为 \(\frac{\boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{n}\|} = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)\)。方向导数为： \[ (1, 2, 3) \cdot \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] 学生作答为 \((1/2, 1, -3)\)，这既不是方向导数的数值结果，也不是正确的向量形式，且未进行单位化处理，存在计算逻辑错误。因此得分为 0 分。

题目总分：0分