评分及理由

（1）得分及理由（满分2分）

学生正确计算了一阶偏导数，并利用条件 \( g(x,x)=1 \) 和 \( \left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x,x)} = \frac{2}{x} \) 得到 \( f(1)=1 \) 和 \( f'(1)=2 \)。此处逻辑正确，得2分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确计算了二阶偏导数，但在代入方程化简时出现错误：学生得到 \( u^2 f''(u) + 2u f'(u) = 1 \)，而标准答案为 \( u^2 f''(u) + u f'(u) = 1 \)。这是由于在计算 \( \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} \) 和 \( \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} \) 时系数错误导致的逻辑错误。扣2分，得2分。

（3）得分及理由（满分6分）

学生采用变量代换 \( u = e^t \) 求解微分方程，方法正确。但基于错误的微分方程 \( f''(t) + f'(t) = 1 \) 进行求解，得到错误通解 \( f(t) = C_1 e^{-t} + C_2 + t \)。尽管利用初始条件 \( f(1)=1 \) 和 \( f'(1)=2 \)（在 t=0 时对应）求解常数过程逻辑正确，但最终结果 \( f(u) = -\frac{1}{u} + \ln u + 2 \) 错误。由于核心方程错误导致结果错误，扣4分，得2分。

题目总分：2+2+2=6分