评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"PI/4"，这等价于标准答案中的\(\frac{\pi}{4}\)。虽然书写格式略有不同（使用了"PI"而不是"π"），但在数学表达中这是常见的等价表示方式。该积分计算过程为：

\(\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+2x+2} dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^{2}+1} dx\)

令\(t = x+1\)，则积分变为\(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^{2}+1} dt\)

该积分的原函数为\(\arctan t\)，代入上下限得：

\(\lim_{b \to \infty} \arctan b - \arctan 1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\)

学生的答案与标准答案完全一致，没有逻辑错误，思路正确，因此给满分5分。

题目总分：5分